Question

6．已知函数f（x）=cos（2x+φ）的图象关于点（$\frac{2}{3}$π，0）对称，若将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位得到一个偶函数的图象，则实数m的最小值为$\frac{π}{12}$．

Answer 1

分析 利用余弦函数的对称性可得φ=kπ-$\frac{5π}{6}$，k∈Z，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及余弦函数的奇偶性解得m=$\frac{（k-{k}_{1}）π}{2}$-$\frac{5π}{12}$，结合m的范围，即可得解最小值．

解答 解：∵函数f（x）=cos（2x+φ）的图象关于点（$\frac{2}{3}$π，0）对称，
∴2×$\frac{2π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，解得：φ=kπ-$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）=cos（2x+kπ-$\frac{5π}{6}$），k∈Z，
∵将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位得到函数y=cos[2（x-m）+kπ-$\frac{5π}{6}$]=cos（2x-2m+kπ-$\frac{5π}{6}$），k∈Z为偶函数，
∴要使函数g（x）为偶函数，即x=0为其对称轴，只需-2m+kπ-$\frac{5π}{6}$=k₁π，（k∈Z，k₁∈Z），
∴解得：m=$\frac{（k-{k}_{1}）π}{2}$-$\frac{5π}{12}$，
∵m＞0
∴m的最小正值为$\frac{π}{12}$，此时k-k₁=1，k∈Z，k₁∈Z．
故答案为：$\frac{π}{12}$．

点评 本题主要考查了余弦函数的图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．