Question

8．在等差数列{a_n}中，S_n为其前n项的和，已知a₁+a₃=22，S₅=45．
（1）求a_n，S_n；                
（2）设数列{S_n}中最大项为S_k，求k．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的性质列方程解出首项和公差，得到通项公式和前n项和公式；
（2）利用二次函数的性质求出S_n取得最大值时的n．

解答 解：（1）∵a₁+a₃=2a₂，S₅=$\frac{{a}_{1}+{a}_{5}}{2}×5$=5a₃，
∴$\left\{\begin{array}{l}2{a_2}=22\\ 5{a_3}=45\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a_2}=11\\{a_3}=9\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=13\\ d=-2\end{array}\right.$，
∴a_n=-2n+15，${S_n}=-{n^2}+14n$．
（2）S_n=-（n-7）²+49，
∴当n=7时，S_n取得最大值，
∴k=7．

点评 本题考查了等差数列的性质，二次函数的性质，属于基础题．