Question

18．已知二次函数f（x）=abx²-（b+2a）x+1有最小值f（2），当a，b为何值时，f（2）有最大值，并求出f（2）的最大值．

Answer 1

分析 求出函数的对称轴，得到2a+b=ab，表示出f（2），根据基本不等式的性质求出f（2）的最大值即可．

解答 解：由题意得：对称轴x=$\frac{2a+b}{2ab}$=2，
∴2a+b=4ab，
∵函数f（x）有最小值，∴ab＞0，
∴$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{4a}$=1，∴a＞0，b＞0，
∴f（2）=1-（2a+b），
而2a+b=（2a+b）（$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{4a}$）=1+$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{4a}$≥2，
当且仅当b=2a=1时“=”成立，
∴f（2）是最大值是1-2=-1．

点评 不同考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质以及“乘1法”的应用，是一道中档题．