Question

9．设公差不为零的等差数列{a_n}的前5项的和为55，且a₂，$\sqrt{{a_6}+{a_7}}，{a_4}$-9成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）设数列b_n=$\frac{1}{{（{a_n}-6）（{a_n}-4）}}$，求证：数列{b_n}的前n项和S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）设等差数列的首项为a₁，公差为d，运用等比数列的中项的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（2）求得b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）设等差数列的首项为a₁，公差为d，
由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{5}=55}\\{{a}_{6}+{a}_{7}={a}_{2}（{a}_{4}-9）}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}5{a_1}+\frac{5×4}{2}d=55\\{（\sqrt{{a_1}+5d+{a_1}+6d}）^2}=（{a_1}+d）（{a_1}+3d-9）\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a_1}=7\\ d=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=11\\ d=0\end{array}\right.$（舍去），
故数列{a_n}的通项公式为a_n=7+2（n-1）即a_n=2n+5；
（2）证明：由（1）a_n=2n+5，
得${b_n}=\frac{1}{{（{a_n}-6）（{a_n}-4）}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
则${S_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）＜\frac{1}{2}$．
故原不等式成立．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项的性质，数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．