Question

13．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²-19n+1，记T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．
（1）求S_n的最小值及相应n的值；
（2）求T_n．

Answer 1

分析 （1）S_n=2n²-19n+1=2$（n-\frac{19}{4}）^{2}$-$\frac{353}{8}$，利用二次函数的单调性即可得出．
（2）由S_n=2n²-19n+1，n=1时，a₁=-16．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-21．由a_n≤0，解得n≤5．n≥6时，a_n＞0．可得n≤5时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…+a_n）=-S_n．n≥6时，T_n=-（a₁+a₂+…+a₅）+a₆+…+a_n=-2S₅+S_n．

解答 解：（1）S_n=2n²-19n+1=2$（n-\frac{19}{4}）^{2}$-$\frac{353}{8}$，
∴n=5时，S_n取得最小值=-44．
（2）由S_n=2n²-19n+1，
∴n=1时，a₁=2-19+1=-16．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-19n+1-[2（n-1）²-19（n-1）+1]=4n-21．
由a_n≤0，解得n≤5．n≥6时，a_n＞0．
∴n≤5时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-（a₁+a₂+…+a_n）=-S_n=-2n²+19n-1．
n≥6时，T_n=-（a₁+a₂+…+a₅）+a₆+…+a_n
=-2S₅+S_n
=2n²-19n+89．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2{n}^{2}+19n-1，1≤n≤5}\\{2{n}^{2}-19n+89，n≥6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的解法、绝对值数列求和问题，考查了分类讨论方法推理能力与计算能力，属于中档题．