Question

12．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BC、CC₁的中点，求证：面A₁B₁F⊥面C₁DE．

Answer 1

分析 由A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，C₁E?面BCC₁B₁，知A₁B₁⊥C₁E，再证明C₁E⊥B₁F，由此能够证明平面A₁B₁F⊥平面C₁DE．

解答 证明：∵A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，C₁E?面BCC₁B₁，
∴A₁B₁⊥C₁E，
∵E、F分别是BC、CC₁的中点，
∴△B₁C₁F∽△C₁CE，
∴∠C₁FB₁=∠CEC₁，
∴∠C₁FB₁+∠EC₁F=90°
∴C₁E⊥B₁F．
又∵A₁B₁∩B₁F=B₁，∴C₁E⊥平面A₁B₁F．
∵C₁E?平面C₁DE，
∴平面A₁B₁F⊥平面C₁DE．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查线面垂直的判定，注意空间想象能力的培养．