Question

3．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a=2$\sqrt{3}$，sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{4}$，sinBsinC=cos²$\frac{A}{2}$，求A、B及b、c．

Answer 1

分析 sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{4}$，可得sinC=$\frac{1}{2}$，于是C=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．由sinBsinC=cos²$\frac{A}{2}$，可得sinB=cosA+1，对C分类讨论，利用和差化积、正弦定理即可得出．

解答 解：在△ABC中，∵sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{4}$，∴sinC=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．
∵sinBsinC=cos²$\frac{A}{2}$，∴sinBsinC=$\frac{cosA+1}{2}$，
∴sinB=cosA+1，
①C=$\frac{π}{6}$时，$sin（\frac{5π}{6}-A）$=cosA+1，化为：$sin（A-\frac{π}{6}）$=1，
∵A∈$（0，\frac{5π}{6}）$，解得：$A-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得A=$\frac{2π}{3}$，
∴B=π-A-B=$\frac{π}{6}$，
由正弦定理可得：$\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{b}{sin\frac{π}{6}}$=$\frac{c}{sin\frac{π}{6}}$，解得b=c=2．
②C=$\frac{5π}{6}$，可得$sin（\frac{π}{6}-A）$=cosA+1＞1，舍去．

点评 本题考查了和差化积、正弦定理、倍角公式、三角形内角和定理，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．