Question

1．如图，在三棱锥D-ABC中，已知AB=2，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=-3，设AD=a，BC=b，CD=c，则$\frac{c^2}{ab+1}$的最小值为2．

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$，从而由$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$）=-3，得|（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）-$\overrightarrow{c}$|=2，从而$\frac{c^2}{ab+1}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）\overrightarrow{c}+3}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+1}$，由此入手能求出$\frac{c^2}{ab+1}$的最小值．

解答 解：∵在三棱锥D-ABC中，AB=2，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=-3，设$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{c}$
∴$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$）
=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}-{\overrightarrow{c}}^{2}$=-3，
∴${\overrightarrow{c}}^{2}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$+3，
又$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$，
∴|（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）-$\overrightarrow{c}$|=2，①
∴$\frac{c^2}{ab+1}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}+3}{ab+1}$，②
将①两边平方得$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}-2（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}=4$，
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}+{\overrightarrow{c}}^{2}-4=2（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}$，
∴$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}{2}+\frac{{\overrightarrow{c}}^{2}}{2}-2=（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{c}$，
代入②中，得$\frac{{c}^{2}}{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+1}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}{2}+\frac{{\overrightarrow{c}}^{2}}{2}+1}{ab+1}$，
∴$\frac{1}{2}{\overrightarrow{c}}^{2}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+1+$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}{2}$
=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+1+\frac{1}{2}（{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）$
=1+$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}$），
∴${\overrightarrow{c}}^{2}=2+{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}$，
又${\overrightarrow{{c}^{\;}}}^{2}$=c²，${\overrightarrow{a}}^{2}={a}^{2}$，${\overrightarrow{b}}^{2}={b}^{2}$，
∴$\frac{c^2}{ab+1}$=$\frac{2+{a}^{2}+{b}^{2}}{ab+1}$≥$\frac{2+2ab}{ab+1}$=2．
∴$\frac{c^2}{ab+1}$的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查三角形中关于边长的代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．