Question

10．在数列{a_n}中，已知a₁=1，前n项和S_n满足${S}_{n}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）（n≥2），则S_n=$\frac{1}{3-2n}$．

Answer 1

分析 由${S}_{n}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）（n≥2），可得 ${S}_{n}^{2}$=（S_n-S_n-1）（S_n-$\frac{1}{2}$）（n≥2），变形为：$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-2，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵${S}_{n}^{2}$=a_n（S_n-$\frac{1}{2}$）（n≥2），
∴${S}_{n}^{2}$=（S_n-S_n-1）（S_n-$\frac{1}{2}$）（n≥2），
化为：2S_nS_n-1-S_n+S_n-1=0，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}-\frac{1}{{S}_{n-1}}$=-2，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为-2．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1-2（n-1）=3-2n．
∴S_n=$\frac{1}{3-2n}$．
故答案为：$\frac{1}{3-2n}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．