Question

3．已知函数f（x）=x²+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x-y+3=0平行，若数列$\left\{{\frac{1}{f（n）}}\right\}$的前n项和为S_n，则S₂₀₁₆=$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 通过向量相等、求导并解方程可知b=$\frac{1}{2}$，进而裂项可知$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即得结论．

解答 解：∵函数f（x）=x²+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x-y+3=0平行，
∴f′（0）=0+2b=1，即b=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=x²+x，$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S₂₀₁₆=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$，
故答案为：$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．