Question

12．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=a_n（a_n+1），数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n，现有如下结论：
①a_n=n；
②$\frac{{T}_{2n-1}}{2n-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$；
③2T_2n-T_n≥3-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
④T_2n-T_n$≥\frac{1}{2}$
其中正确结论的序号为①③④（填上所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 2S_n=a_n（a_n+1），a_n＞0，n=1时，2a₁=a₁（a₁+1），解得a₁=1．n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1），可得：a_n-a_n-1=1，利用等差数列的通项公式可得：a_n．数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．由上面可知：①正确．②取n=2时验证即可判断出结论．③令f（n）=2T_2n-T_n，判定数列f（n）的单调性即可判断出结论．④
T_2n-T_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+$…+$\frac{1}{2n}$，通过放缩即可判断出结论．

解答 解：∵2S_n=a_n（a_n+1），a_n＞0，
∴n=1时，2a₁=a₁（a₁+1），解得a₁=1．
n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=a_n（a_n+1）-a_n-1（a_n-1+1），化为：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是等差数列，公差与首项都为1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为T_n=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．
由上面可知：①正确．
②$\frac{{T}_{2n-1}}{2n-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$，即为T_2n-1=$\frac{2n-1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$，当n=2时，左边=T₃=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$=$1+\frac{5}{6}$，右边=$2-\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，∴左边≠右边，因此不正确．
③令f（n）=2T_2n-T_n=$1+\frac{1}{2}+$…+$\frac{1}{n}$+2$（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}）$，
则f（n+1）-f（n）=2T_2n+2-T_n+1-（2T_2n-T_n）=2（T_2n+2-T_2n）-（T_n+1-T_n）=2$（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}）$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{2}{2n+1}$＞0，
∴数列f（n）单调递增，f（1）=2T₂-T₁=$2（1+\frac{1}{2}）-1$=2=3-$\frac{1}{{2}^{0}}$，成立；
f（2）=2T₄-T₂=$2（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$-$（1+\frac{1}{2}）$=$\frac{25}{6}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{8}{3}$＞3-$\frac{1}{2}$，成立．
f（3）=2$（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}）$-$（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+2$（\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}）$=$2+\frac{2}{3}$+$\frac{2}{5}$＞3，
∴n＞3时，f（n）＞f（n），而右边=3-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜3，因此正确．
④T_2n-T_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+$…+$\frac{1}{2n}$≥$\frac{n}{2n}$=$\frac{1}{2}$，可知正确．
综上可得：只有①③④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系、数列的单调性、不等式的性质、数列的前n项和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．