Question

19．对于给定的正整数n，若等差数列a₁，a₂，a₃，…满足a₁²+a_2n+1²≤10，则S=a_2n+1+a_2n+2+a_2n+3+…+a_4n+1的最大值为10n+5．

Answer 1

分析 根据等差数列的关系整理得S=（2n+1）a_3n+1，由a₁²+a_2n+1²≤10得到关于d的二次方程，10n²d²-8da_3n+1+2a_3n+1²-10≤0有解，根据判别式即可求出．

解答 解：因为数列a_2n+1+a_4n+1=a_2n+2+a_4n=…=2a_3n+1是等差数列，
所以a₁²+a_2n+1²=（a_3n+1-3nd）²+（a_3n+1-nd）²≤10，
化简得：2a_3n+1²-8da_3n+1+10n²d²-10≤0，
关于d的二次方程，10n²d²-8da_3n+1+2a_3n+1²-10≤0，有解，
所以△=64a_3n+1²-4×10n²（2a_3n+1²-10）≥0，
所以（64-80n²）a_3n+1²≥-400n²，
所以a_3n+1²≤$\frac{400{n}^{2}}{80{n}^{2}-64}$=10（$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{5{n}^{2}-4}$）≤25，
所以-5≤a_3n+1≤5，
即S_n≤5（2n+1）=10n+5，
故答案为：10n+5．

点评 本题考查求等差数列的和，利用判别式判断二次函数的最大值，属于中档题．