Question

4．已知数列{a_n}的首项a₁=5，且a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1=2a_n+1，变形为：a_n+1+1=2（a_n+1），且a₁+1=6≠0，利用等比数列的通项公式及其定义即可得出；
（II）由na_n=n（3•2ⁿ-1），数列{na_n}的前n项和S_n=3（2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n），利用“错位相减法”、等比数列与等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 （I）证明：∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），且a₁+1=6≠0，∴$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}$=2，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（3分）
∴数列{a_n+1}是以6为首项，2为公比的等比数列，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（4分）
∴a_n+1=（a₁+1）•2^n-1=6•2^n-1=3•2ⁿ，
∴a_n=3•2ⁿ-1．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（6分）
（II）∵na_n=n（3•2ⁿ-1），
数列{na_n}的前n项和S_n=3（2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）-（1+2+3+…+n），
令T_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=-（n-1）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（10分）
∴S_n=3（n-1）•2ⁿ⁺¹-$\frac{n（n+1）}{2}$+6．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍（12分）

点评 本题考查了数列的递推关系、“错位相减法”、等比数列与等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．