Question

14．已知抛物线C：y²=4x，过抛物线C的焦点F的直线l0与C交于A，B（A在x轴上方）两点，且|AF|=3|BF|，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|．直线为x=my+1代入y²=4x得：y²=4（my+1），求出m，由此能求出△OAB的面积．

解答 解：抛物线焦点为（1，0），直线l方程为x=my+1，
代入y²=4x得：y²=4（my+1），即y²-4my-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=4m①，y₁y₂=-4②，
∵|AF|=3|BF|，
∴x₁+1=3（x₂+1），
∴my₁+2=3（my₂+2），
∴my₁=3my₂+4③，
由①②③可得m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{16×\frac{1}{3}+16}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$×$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系．在涉及焦点弦的问题时常需要把直线与抛物线方程联立利用韦达定理设而不求，进而利用弦长公式求得问题的答案．