Question

19．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=120°，a=3$\sqrt{3}$
（1）求bc的最大值；
（2）若D为BC边上靠近点B的一个三等分点，求AD的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得：$（3\sqrt{3}）^{2}$=b²+c²-2bccos120°≥2bc+bc，解得bc即可．
（2）如图所示，以BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．D$（-\frac{1}{2}\sqrt{3}，0）$．∠BAC=120°，可得∠OEC=60°．E$（0，-\frac{3}{2}）$，EC=3．点A所在圆的方程为：x²+$（y+\frac{3}{2}）^{2}$=9，$（-\frac{3}{2}\sqrt{3}＜x＜\frac{3\sqrt{3}}{2}，0＜y≤\frac{3}{2}）$．可设设x=3cosθ，y=-$\frac{3}{2}$+3sinθ，$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{5π}{6}$，$sin（θ-\frac{π}{6}）$∈（0，1]．代入|AD|²=$（x+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+{y}^{2}$，化简整理即可得出．

解答 解：（1）由余弦定理可得：$（3\sqrt{3}）^{2}$=b²+c²-2bccos120°≥2bc+bc，解得bc≤9，当且仅当b=c=3时取等号，
∴bc的最大值为9
（2）如图所示，以BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系．D$（-\frac{1}{2}\sqrt{3}，0）$．
∵∠BAC=120°，可得∠OEC=60°．
∴E$（0，-\frac{3}{2}）$，EC=3．
∴点A所在圆的方程为：x²+$（y+\frac{3}{2}）^{2}$=9，$（-\frac{3}{2}\sqrt{3}＜x＜\frac{3\sqrt{3}}{2}，0＜y≤\frac{3}{2}）$．
可设设x=3cosθ，y=-$\frac{3}{2}$+3sinθ，$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{5π}{6}$，$sin（θ-\frac{π}{6}）$∈（0，1]．
∴|AD|²=$（x+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+{y}^{2}$=$（3cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$+$（-\frac{3}{2}+3sinθ）^{2}$
=-$6\sqrt{3}$$sin（θ-\frac{π}{6}）$+12∈$（12-6\sqrt{3}，12]$，
∴|AD|∈$（3-\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$．

点评 本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、圆的方程及其应用、三角函数求值、和差化积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．