Question

9．已知函数$f（x）={log_{\sqrt{2}}}$x，且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设b_n=a_n•f（a_n），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由函数$f（x）={log_{\sqrt{2}}}$x，且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列，可得f（a_n）=2n=$lo{g}_{\sqrt{2}}{a}_{n}$，a_n=2ⁿ，即可证明．
（2）由（1）可得：a_n=2ⁿ．可得：b_n=a_n•f（a_n）=n×2ⁿ⁺¹，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵函数$f（x）={log_{\sqrt{2}}}$x，且数列{f（a_n）}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴f（a_n）=2+2（n-1）=2n=$lo{g}_{\sqrt{2}}{a}_{n}$，∴a_n=$（\sqrt{2}）^{2n}$=2ⁿ=2×2^n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为2．
（2）解：由（1）可得：a_n=2ⁿ．
b_n=a_n•f（a_n）=2ⁿ$•lo{g}_{\sqrt{2}}{2}^{n}$=2ⁿ×2n=n×2ⁿ⁺¹，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，
2T_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺²，
∴-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n×2ⁿ⁺²=（1-n）×2ⁿ⁺²-4，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺²+4．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．