Question

10．若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=9，且a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$+2a_n，其中n为正整数．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（a_n+1）}为等比数列．
（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1），求lgT_n．
（Ⅲ）在（2）的条件下，记b_n=$\frac{lg{T}_{n}}{lg（{a}_{n}+1）}$，求数列{b_n}的前n项和S_n，并求使S_n＞4030的n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把已知数列递推式变形，可得${a}_{n+1}+1=（{a}_{n}+1）^{2}$，则数列{a_n+1}是“平方递推数列”，两边取对数后可得数列{lg（a_n+1）}为等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得$lg（{a}_{n}+1）={2}^{n-1}$，然后利用对数的运算性质把T_n转化为等比数列求解；
（Ⅲ）化简b_n=$\frac{lg{T}_{n}}{lg（{a}_{n}+1）}$，分组求和后得到${S}_{n}=2n-2+\frac{1}{{2}^{n-1}}$，再由S_n＞4030求得n的最小值．

解答 （Ⅰ）证明：由题意知，${a}_{n+1}={{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}$，
即${a}_{n+1}+1=（{a}_{n}+1）^{2}$，则数列{a_n+1}是“平方递推数列”，
对${a}_{n+1}+1=（{a}_{n}+1）^{2}$，两边取对数得lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），
∴数列{lg（a_n+1）}是以{lg（a₁+1）}为首项，2为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知$lg（{a}_{n}+1）=lg（{a}_{1}+1）•{2}^{n-1}={2}^{n-1}$，
∴lgT_n=lg（a₁+1）（a₂+1）…（a_n+1）=lg（a₁+1）+lg（a₂+1）+…+lg（a_n+1）
=1+2+2²+…+2^n-1=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}={2}^{n}-1$；
（Ⅲ）解：b_n=$\frac{lg{T}_{n}}{lg（{a}_{n}+1）}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}=2-（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴${S}_{n}=2n-\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=2n-2+\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
又S_n＞4030，即$2n-2+\frac{1}{{2}^{n-1}}＞4030$，
得$n+\frac{1}{{2}^{n}}＞2016$，
又0$＜\frac{1}{{2}^{n}}＜1$，
∴n_min=2016．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了对数的运算性质，考查等比数列的前n项和，考查了数列的函数特性，是中档题．