Question

20．如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是矩形，四边形ABEF是等腰梯形，其中AB∥EF，AB=2AF，∠BAF=60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为△OBF的重心．
（I）求证：平面ADF⊥平面CBF；
（II）求证：PM∥平面AFC．

Answer 1

分析 （I）利用面面垂直的性质可证CB⊥平面ABEF，利用线面垂直的性质可证CB⊥AF，设AF=a，则AB=2a，根据余弦定理可得BF=$\sqrt{3}a$，利用勾股定理可得AF⊥BF，从而可证AF⊥平面CBF，进而可证平面ADF⊥平面CBF．
（II）∵M为底面△OBF的重心，连接OM延长交BF于Q，则Q为BF的中点，连接PO，PQ，可得PO∥AC，PQ∥CF，从而可证PO∥平面AFC，PQ∥平面AFC，通过面面平行即可证明PM∥平面AFC．

解答 （本题满分为12分）
证明：（I）∵平面ABCD⊥平面ABEF，且CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABEF，…2分
又∵AF?平面ABEF，
∴CB⊥AF，…3分
∵AB=2AF，设AF=a，则AB=2a，又∠BAF=60°，根据余弦定理BF=$\sqrt{3}a$，
∴AB²=AF²+BF²，从而AF⊥BF，
∴AF⊥平面CBF，…4分
又∵AF?平面ADF，
∴平面ADF⊥平面CBF．…6分
（II）∵M为底面△OBF的重心，连接OM延长交BF于Q，则Q为BF的中点，连接PO，PQ，
∵P，O，Q分别是CB，AB，BF的中点，
∴PO∥AC，PQ∥CF，
从而，PO∥平面AFC，PQ∥平面AFC，…8分
∴平面POQ∥平面AFC，…10分
又∵PM?平面POQ，
∴PM∥平面AFC．…12分

点评 本题主要考查了面面垂直、线面垂直的性质，线面垂直、面面垂直的判定，线面平行的判定，考查了余弦定理，勾股定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．