Question

10．已知函数f（x）=x²+ax+1，其中a∈R，且a≠0
（Ⅰ）若f（x）的最小值为-1，求a的值；
（Ⅱ）求y=|f（x）|在区间[0，|a|]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）配方求出最小值即可得出；-1=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，a²=8，所以a=±2$\sqrt{2}$，
（Ⅱ）分类求解：a＞0时，最大值=|f（a）|=2a²+1；当|1-$\frac{{a}^{2}}{4}$|≤1，即-2$\sqrt{2}$≤a≤0时，|f（x）|_max=|f（0）|=1；当|1-$\frac{{a}^{2}}{4}$|＞1，即a＜-2$\sqrt{2}$时，|f（x）|_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$-1．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x²+ax+1，其中a∈R，且a≠0．
∴f（x）=（x+$\frac{a}{2}$）²+1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，其中a∈R，且a≠0．
∴若f（x）的最小值为-1=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，a²=8，所以a=±2$\sqrt{2}$，
（Ⅱ）①当a＞0时，y=|f（x）|在区间[0，|a|]上单调递增，最大值=|f（a）|=2a²+1；
②当a＜0时，f（0）=f（|a|）=1，f（-$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
当|1-$\frac{{a}^{2}}{4}$|≤1，即-2$\sqrt{2}$≤a≤0 时，|f（x）|_max=|f（0）|=1，
当|1-$\frac{{a}^{2}}{4}$|＞1，即a＜-2$\sqrt{2}$时，|f（x）|_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$-1，
故y=|f（x）|在区间[0，|a|]上的最大值，|f（x）|_max=$\left\{\begin{array}{l}{{2a}^{2}+1，a＞0}\\{1，-2\sqrt{2}≤a≤0}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-1，a＜-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题综合考查了函数的性质，不等式，函数的最值问题，分类较多．