Question

18．已知点Q是抛物线C：y²=2px（p＞0）上的动点，点Q到抛物线准线与到点P（-$\frac{1}{2}$，1）的距离之和的最小值为$\sqrt{2}$．
（1）求抛物线C的方程；
（2）如图，设直线y=kx+b与抛物线C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且|y₁-y₂|=2，过弦AB的中点M作垂直于y轴的直线与抛物线C交于点D，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）由点Q到抛物线准线与到点P（-$\frac{1}{2}$，1）的距离之和的最小值为$\sqrt{2}$，得点Q到抛物线的焦点与到点P（-$\frac{1}{2}$，1）的距离之和的最小值为$\sqrt{2}$，可得p，即可求抛物线C的方程；
（2）把直线的方程与抛物线方程联立可得△＞0及根与系数的关系，再利用三角形的面积公式即可得出．

解答 解：（1）∵点Q到抛物线准线与到点P（-$\frac{1}{2}$，1）的距离之和的最小值为$\sqrt{2}$，
∴点Q到抛物线的焦点与到点P（-$\frac{1}{2}$，1）的距离之和的最小值为$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{（\frac{p}{2}+\frac{1}{2}）^{2}+1}$=$\sqrt{2}$，
∴p=1，
∴抛物线C的方程为y²=2x；
（2）联立直线y=kx+b与抛物线C得：k²x²+2（kb-1）x+b²=0（k≠0），△＞0，即1-2kb＞0，
x₁+x₂=$\frac{2（1+kb）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$．
|y₁-y₂|=k|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{4（1-2kb）}{{k}^{2}}}$=2，
∴1-2kb=k²，
∵M（$\frac{1-kb}{{k}^{2}}$，$\frac{1}{k}$），D（$\frac{1}{2{k}^{2}}$，$\frac{1}{k}$），
∴△ABD的面积S=$\frac{1}{2}$|MD||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×|\frac{1-2kb}{2{k}^{2}}|×2$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、弦长公式、直线与抛物线相交问题转化为△＞0及根与系数的关系、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．