Question

7．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD和侧面BCC₁B₁都是矩形，E是CD的中点，D₁E⊥CD．

（1）求证；D₁E⊥底面ABCD；
（2）在所给方格纸中（方格纸中每个小正方形的边长为1），将四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的三视图补充完整，并根据三视图，求出三棱锥B-DD₁E的体积．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出BC⊥CD，BC⊥CC₁，于是BC⊥平面CC₁D₁D，故BC⊥D₁E，结合D₁E⊥CD得出D₁E⊥底面ABCD；
（2）根据三视图可知DE=BC=D₁E=1，代入体积公式计算即可．

解答 证明：（1）∵底面ABCD和侧面BCC₁B₁都是矩形，
∴BC⊥CD，BC⊥CC₁，又CD?平面CC₁D₁D，CC₁?平面CC₁D₁D，CD∩CC₁=C，
∴BC⊥平面CC₁D₁D．∵D₁E?平面CC₁D₁D，
∴BC⊥D₁E，又D₁E⊥CD，CD?平面ABCD，BC?平面ABCD，BC∩CD=C，
∴D₁E⊥平面ABCD．
（2）作出几何体的三视图如下：

由三视图可知DE=D₁E=BC=1，
∴V${\;}_{B-D{D}_{1}E}$=$\frac{1}{3}$S${\;}_{△{D}_{1}DE}$•BC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，几何体的三视图与体积计算，属于基础题．