Question

16．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），其中a＞b＞0，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：ρ=2cosθ，射线l：θ=α（ρ≥0），设射线l与曲线C₁交于点P，当α=0时，射线l与曲线C₂交于点O，Q，|PQ|=1；当α=$\frac{π}{2}$时，射线l与曲线C₂交于点O，|OP|=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程；
（Ⅱ）设直线l′：$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数，t≠0）与曲线C₂交于点R，若α=$\frac{π}{3}$，求△OPR的面积．

Answer 1

分析 （1）求出C₁，C₂的普通方程，就两种情况分别求出P点坐标，根据距离列方程求出a，b，得出C₁的普通方程；
（2）联立方程组求出P，R的坐标，利用距离公式计算|OP|和R到射线OP的距离即可求出三角形的面积．

解答 解：（1）曲线C₁的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
曲线C₂的直角坐标方程为（x-1）²+y²=1．
当α=0时，P（a，0），Q（2，0），∴a=1或3．
当$α=\frac{π}{2}$时，P（0，b），∴b=$\sqrt{3}$．
∵a＞b＞0，∴a=3，b=$\sqrt{3}$．
∴曲线C₁的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）把：$\left\{\begin{array}{l}{x=-t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$代入方程（x-1）²+y²=1得2t²+t=0．
解得t=-$\frac{1}{2}$或t=0（舍）．
∴R（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
当$α=\frac{π}{3}$时，射线l的方程为y=$\sqrt{3}x$（x≥0）．即$\sqrt{3}x-y=0$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，y=$\frac{3\sqrt{30}}{10}$．即P（$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\frac{3\sqrt{30}}{10}$）．
∴|OP|=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，R到射线OP的距离d=$\frac{|\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}|}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴△OPR的面积S=$\frac{1}{2}•OP•d$=$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{10}}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{30}}{20}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程的互化，直线与曲线的交点坐标，距离公式的应用，属于中档题．