Question

15．实数x，y满足x²-2xy+2y²=2，则x²+2y²的最小值是4-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由2xy=2y²+x²-2，两边平方，设x²+2y²=m，则x²=m-2y²，代入可得8y⁴-4my²+（m-2）²=0，再设y²=t，得到8t²-4mt+（m-2）²=0，利用△≥0，解出即可．

解答 解：设x²+2y²=m，则x²=m-2y²，
∵x²-2xy+2y²=2，
∴-2xy=2-（2y²+x²），
∴4x²y²=[2-（2y²+x²）]²，
∴4y²（m-2y²）=（m-2）²，
∴8y⁴-4my²+（m-2）²=0，
设y²=t，
∴8t²-4mt+（m-2）²=0
∴△=16m²-32（m-2）²≥0，解得：4-2$\sqrt{2}$≤m≤4+2$\sqrt{2}$，
∴x²+2y²的最小值是4-2$\sqrt{2}$，
故答案为：4-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、一元二次不等式的解法，属于中档题．