Question

5．已知数列{a_n}，a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{{3{a_n}}}{{{a_n}+3}}$．
求：（1）写出a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）求出数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{{3{a_n}}}{{{a_n}+3}}$．分别令n=1，2，3，4，即可得出．
（2）由${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{{a_n}+3}}$，n∈N^*，可知a_n≠0，两边取倒数，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{{3{a_n}}}{{{a_n}+3}}$．∴${a_2}=\frac{{3{a_1}}}{{{a_1}+3}}=\frac{3}{7}$，${a_3}=\frac{{3{a_2}}}{{{a_2}+3}}=\frac{3}{8}$．${a_4}=\frac{{3{a_3}}}{{{a_3}+3}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，${a_5}=\frac{{3{a_4}}}{{{a_4}+3}}=\frac{3}{10}$．
（2）由${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_{n+1}}=\frac{{3{a_n}}}{{{a_n}+3}}$，n∈N^*，可知a_n≠0，
从而可得n≥2，$\frac{1}{a_n}=\frac{{{a_{n-1}}+3}}{{3{a_{n-1}}}}=\frac{1}{3}+\frac{1}{{{a_{n-1}}}}$，
即$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{3}$，且$\frac{1}{a_1}=2$，
∴数列$\{\frac{1}{a_n}\}$是以2位首项，$\frac{1}{3}$为公差的等差数列，从而有$\frac{1}{a_n}=2+\frac{1}{3}（n-1）=\frac{n+5}{3}$．
∴${a_n}=\frac{3}{n+5}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．