Question

12．在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2）．
（1）若$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，求$\overrightarrow{OP}$的坐标．
（2）若$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），且点P在函数y=x+1的图象上，试求m-n．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow{OP}$的坐标为（x，y），运用向量的加法运算，解方程可得x，y；
（2）求得向量AB，AC的坐标，可得P的坐标，代入函数的解析式，即可得到m-n的值．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{OP}$的坐标为（x，y），
由$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，可得（1-x，1-y）+（2-x，3-y）+（3-x，2-y）=（0，0），
即有x=$\frac{1+2+3}{3}$=2，y=$\frac{1+3+2}{3}$=2，
可得$\overrightarrow{OP}$的坐标为（2，2）；
（2）点A（1，1），B（2，3），C（3，2），可得
$\overrightarrow{AB}$=（1，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，1），
设$\overrightarrow{OP}$的坐标为（x₀，y₀），由$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$，
可得x₀=m+2n，y₀=2m+n，
点P在函数y=x+1的图象上，可得y₀=x₀+1，
即为2m+n=m+2n+1，
可得m-n=1．

点评 本题考查向量的坐标运算，注意运用点满足函数解析式，考查化简整理的运算能力，属于基础题．