Question

19．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，且|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，则向量$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{a}$方向上的投影是-2．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，计算（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）$•\overrightarrow{a}$，代入投影公式计算即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0．
∴（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）$•\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-{\overrightarrow{a}}^{2}$=-4．
∴向量$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$在向量$\overrightarrow{a}$方向上的投影为|$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$|•$\frac{（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}|}$=$\frac{（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{-4}{2}$=-2．
故答案为：-2．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．