Question

7．设数列{a_n}满足a₁=1，（1-a_n+1）（1+a_n）=1（n∈N⁺），则$\sum_{k=1}^{100}{（{{a_k}{a_{k+1}}}）}$的值为$\frac{100}{101}$．

Answer 1

分析 a₁=1，（1-a_n+1）（1+a_n）=1（n∈N⁺），化简可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，利用等差数列的通项公式可得：a_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵a₁=1，（1-a_n+1）（1+a_n）=1（n∈N⁺），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项与公差都为1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\frac{1}{n}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴$\sum_{k=1}^{100}{（{{a_k}{a_{k+1}}}）}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{100}-\frac{1}{101}）$
=1-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$．
故答案为：$\frac{100}{101}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．