Question

5．已知数列{a_n}中，a_n+1=$\frac{1}{3}{a_n}$+$\frac{1}{3^n}$（n∈N^*），a₁=1；
（1）设b_n=3ⁿa_n（n∈N^*），求证：{b_n}是等差数列；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求$\lim_{n→∞}\frac{{9-4{S_n}}}{{9{a_n}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=$\frac{1}{3}{a_n}$+$\frac{1}{3^n}$（n∈N^*），可得3ⁿ⁺¹a_n+1-3ⁿa_n=3，又b_n=3ⁿa_n（n∈N^*），可得b_n+1-b_n=3，利用等差数列的定义即可证明．
（2）由（1）可得：b_n=3n，3ⁿa_n=3n，可得a_n=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得：S_n=$\frac{9}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n-1}}$．再利用极限的运算性质即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+1=$\frac{1}{3}{a_n}$+$\frac{1}{3^n}$（n∈N^*），∴3ⁿ⁺¹a_n+1-3ⁿa_n=3，又b_n=3ⁿa_n（n∈N^*），∴b_n+1-b_n=3，
∴{b_n}是等差数列，首项为3，公差为3．
（2）解：由（1）可得：b_n=3+3（n-1）=3n，
∴3ⁿa_n=3n，可得a_n=$\frac{n}{{3}^{n-1}}$．
∴S_n=1+$2×\frac{1}{3}$+3×$（\frac{1}{3}）^{2}$+…+$（n-1）×（\frac{1}{3}）^{n-2}$+n×$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
$\frac{1}{3}{S}_{n}$=$\frac{1}{3}+2×（\frac{1}{3}）^{2}$+…+（n-1×）$（\frac{1}{3}）^{n-1}$+n×$（\frac{1}{3}）^{n}$，
∴$\frac{2}{3}{S}_{n}$=1+$\frac{1}{3}$+$（\frac{1}{3}）^{2}$+…+$（\frac{1}{3}）^{n-1}$-n×$（\frac{1}{3}）^{n}$=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$-n×$（\frac{1}{3}）^{n}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{3+2n}{2}$×$\frac{1}{{3}^{n}}$，
∴S_n=$\frac{9}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n-1}}$．∴1-$\frac{4}{9}{S}_{n}$=$\frac{3+2n}{{3}^{n+1}}$．
∴$\frac{1-\frac{4}{9}{S}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3+2n}{9n}$．
∴$\lim_{n→∞}\frac{{9-4{S_n}}}{{9{a_n}}}$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{3+2n}{9n}$=$\frac{2}{9}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、极限的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．