Question

16．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n≠0，a_n•a_n+1=4S_n-1
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将n换为n-1，两式相减可得a_n+1-a_n-1=4，由{a_n}为等差数列，可得公差d=a_n-a_n-1=2，再求首项可得1，运用等差数列的通项公式即可得到所求通项；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）a_n•a_n+1=4S_n-1，
将n换为n-1，可得a_n-1•a_n=4S_n-1-1，
两式相减可得，a_n（a_n+1-a_n-1）=4a_n，
由a_n≠0，可得a_n+1-a_n-1=4，
{a_n}为等差数列，可得（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）=4，
即有公差d=a_n-a_n-1=2，
当n=1时，a₁•a₂=4S₁-1，即为a₁（a₁+2）=4a₁-1，
解得a₁=1，可得数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d
=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）证明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
即有前n项和为T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
故原不等式成立．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用下标变换相减法，考查等差数列的通项公式的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．