Question

11．数列{a_n}满足：2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=（n+1）²（n∈N^*），则数列{a_n}的前n项和为 S_n=$\frac{11}{2}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 利用递推关系可得a_n，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=（n+1）²（n∈N^*），
∴2a₁=2²，解得a₁=2．
n≥2时，2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2^n-1a_n-1=n²，可得：2ⁿa_n=2n+1，
∴a_n=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{\frac{2n+1}{{2}^{n}}，n≥2}\end{array}\right.$．
则n=1时，S₁=2．
n≥2时，数列{a_n}的前n项和S_n=2+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$…+$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$．
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=1+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}{S}_{n}$=1+$\frac{5}{{2}^{2}}$+2$（\frac{1}{{2}^{3}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$=2$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$+$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{11}{4}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=$\frac{11}{2}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$．（n=1时也成立）．
故答案为：$\frac{11}{2}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．