Question

9．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$）a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$（n∈N^*）．
（1）证明：当n≥2时，a_n≥2；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}}$，数列{b_n}的前n项和是S_n，证明：S_n＜$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）通过放缩、裂项可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＞1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，计算第二项a₂并利用数列{a_n}为递增数列即得结论；
（2）通过（1）放缩可知当n≥2时a_n+1＜（1+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$）a_n+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$a_n，进而整理可知b_n＜$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$（n≥2），计算即得结论．

解答 证明：（1）依题意，a_n+1＞（1+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$）a_n，
整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＞1+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，即数列{a_n}为递增数列，
∵a₁=1，
∴a₂=（1+$\frac{1}{2}$）a₁+$\frac{1}{2}$=2，
∴当n≥2时，a_n≥2；
（2）由（1）可知当n≥2时，a_n+1＜（1+$\frac{1}{{n}^{2}+n}$）a_n+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$a_n，
∴b_n=$\frac{{a}_{n+1}-{a}_{n}}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$（n≥2），
当n=1时，S₁=$\frac{2-1}{1}$=1＜$\frac{7}{4}$，
当n≥2时，S_n＜1+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+（$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）
=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{\frac{1}{{2}^{3}}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{7}{4}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
＜$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查放缩法，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于难题．