Question

13．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象过A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，且满足a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0．
（1）证明y₁=-a或y₂=-a；
（2）证明函数f（x）的图象必与x轴有两个交点；
（3）若关于x的不等式f（x）＞0的解为x＜n或x＞m（n＜m＜0），解关于x的不等式cx²-bx+a＞0．

Answer 1

分析 （1）由题知a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0解得y₁或y₂即可；
（2）讨论a＞0，函数为开口向上的抛物线，a＜0时函数图象开口向下，由（2）得图象上的点A、B的纵坐标大于小于0得到与x轴有两个交点即可；
（3）根据已知不等式的解集得到a的符号且可得ax²+bx+c=0的两根为m，n，然后利用根与系数的关系化简不等式求出解集即可．

解答 解：（1）证明：∵a²+（y₁+y₂）a+y₁y₂=0，
∴（a+y₁）（a+y₂）=0，得y₁=-a或y₂=-a．
（2）证明：当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，图象上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a且小于零，
∴图象与x轴有两个交点．
当a＜0时，二次函数f（x）的图象开口向下，图象上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a且大于零，
∴图象与x轴有两个交点．
故二次函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）∵ax²+bx+c＞0的解集为{x|x＞m或x＜n，n＜m＜0}．
根据一元二次不等式大于0取两边，从而可判定a＞0，
并且可得ax²+bx+c=0的两根为m，n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=-\frac{b}{a}}\\{m•n=\frac{c}{a}＞0}\end{array}\right.$，∴a＞0，
∴$\frac{m+n}{m•n}$=-$\frac{b}{a}$•$\frac{a}{c}$=-$\frac{b}{c}$．
而cx²-bx+a＞0?x²-$\frac{b}{c}$x+$\frac{a}{c}$＞0?x²+（ $\frac{m+n}{mn}$）x+$\frac{1}{mn}$＞0?（x+$\frac{1}{m}$）（x+$\frac{1}{n}$）＞0，
又∵n＜m＜0，∴-$\frac{1}{n}$＜-$\frac{1}{m}$，∴x＞-$\frac{1}{m}$或x＜-$\frac{1}{n}$．
故不等式cx²-bx+a＞0的解集为{x|x＞-$\frac{1}{m}$或x＜-$\frac{1}{n}$}．

点评 考查学生函数与方程的综合运用能力，以及一元二次方程根与系数关系的灵活运用，不等式取解集方法的运用能力．