Question

3．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cosA=$\frac{7}{8}$，a=2，3sinC=4sinB．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）若等差数列{a_n}中a₁=a，a₂=b．
（ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（ⅱ）设b_n=（-1）ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据正弦定理和余弦定理，即可求出b，c的值．
（Ⅱ）（ⅰ）设等差数列{a_n}公差为d，由题有d=a₂-a₁=1，从而a_n=n+1．
（ⅱ）b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿ（n+1），分类讨论即可求出．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中  3sinC=4sinB由正弦定理可得：3c=4b．
由余弦定理得到${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccosA=\frac{9}{16}{c^2}+{c^2}-2•\frac{3c}{4}•c•\frac{7}{8}=\frac{c^2}{4}$，
又a=2，所以c=4，b=3．
（Ⅱ）（ⅰ）设等差数列{a_n}公差为d，由题有d=a₂-a₁=1，
从而a_n=n+1．
（ⅱ）b_n=（-1）ⁿa_n=（-1）ⁿ（n+1），
当n为偶数时：${T_n}=（-2+3）+（-4+5）-…+（-n+n+1）=\frac{n}{2}$．
当n为奇数时：${T_n}=（-2+3）+（-4+5）-…+（-（n-1）+n）-（n+1）=\frac{n-1}{2}-（n+1）=-\frac{n+3}{2}$．
所以T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2}，n为偶数}\\{-\frac{n+3}{2}，n为奇数}\end{array}\right.$

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理，以及等差数列的通项公式和数列的前n项和公式，属于中档题．