Question

18．数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N₊）数列{b_n}满足a_n=$\frac{{b}_{1}}{3+1}$+$\frac{{b}_{2}}{{3}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{3}^{3}+1}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}+1}$
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=$\frac{{a}_{n}{b}_{n}}{4}$（n∈N₊），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时利用a_n=S_n-S_n-1计算，进而可知a_n=2n，进而利用作差可知$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}+1}$=2，计算即得结论；
（2）通过（1）可知c_n=$\frac{{a}_{n}{b}_{n}}{4}$=n+n•3ⁿ（n∈N₊），利用错位相减法计算可知数列{n•3ⁿ}的前n项和Q_n=$\frac{3+（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$，进而利用分组求和法计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
又∵当n=1时，a₁=S₁=2满足上式，
∴a_n=2n，
∵a_n=$\frac{{b}_{1}}{3+1}$+$\frac{{b}_{2}}{{3}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{3}^{3}+1}$+…+$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}+1}$，
∴当n≥2时，a_n-1=$\frac{{b}_{1}}{3+1}$+$\frac{{b}_{2}}{{3}^{2}+1}$+$\frac{{b}_{3}}{{3}^{3}+1}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{{3}^{n-1}+1}$，
两式相减得：$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}+1}$=2n-2（n-1）=2，
又∵$\frac{{b}_{1}}{3+1}$=2满足上式，
∴$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}+1}$=2，b_n=2+2•3ⁿ；
（2）由（1）可知c_n=$\frac{{a}_{n}{b}_{n}}{4}$=n+n•3ⁿ（n∈N₊），
令Q_n为数列{n•3ⁿ}的前n项和，则
Q_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，
3Q_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
两式相减得：-2Q_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹，
∴Q_n=$\frac{3+（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=Q_n+$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{3+（2n-1）•{3}^{n+1}}{4}$+$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法、分组求和法，注意解题方法的积累，属于中档题．