Question

8．已知等差数列{a_n}中，a₁₀=19，公差d≠0，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求a_n；
（2）设b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁，a₂，a₅成等比数列，可得${a}_{2}^{2}$=a₁•a₅，即$（{a}_{1}+d）^{2}$=a₁•（a₁+4d），与a₁₀=19=a₁+9d，联立解出即可得出．
（2）b_n=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵a₁，a₂，a₅成等比数列，∴${a}_{2}^{2}$=a₁•a₅，即$（{a}_{1}+d）^{2}$=a₁•（a₁+4d），
∵a₁₀=19=a₁+9d，联立解得：a₁=1，d=2．
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．