Question

3．已知等比数列{a_n}为单调递增数列，且满足a₃+a₄=12，a₁•a₆=32，
（Ⅰ）若b_n=log₂a_n，试求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （I）设递增的等比数列{a_n}的公比为q，利用等比数列的通项公式可得a_n，再利用对数的运算性质可得b_n．
（II）a_n•b_n=（n-1）•2^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设递增的等比数列{a_n}的公比为q，∵a₃+a₄=12，a₁•a₆=32，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（{q}^{2}+{q}^{3}）=12}\\{{a}_{1}^{2}{q}^{5}=32}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=32}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$（舍去）．
∴a_n=2^n-1．
∴b_n=log₂a_n=n-1．
（II）a_n•b_n=（n-1）•2^n-1．
∴数列{a_n•b_n}的前n项和为S_n=0+2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1．
2S_n=2²+2×2³+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ，
∴-S_n=2+2²+…+2^n-1-（n-1）•2ⁿ=$\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（n-1）•2ⁿ=（2-n）•2ⁿ-2，
∴S_n=（n-2）•2ⁿ+2．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．