Question

11．设等差数列{a_n}前n项和为S_n，且a₅+a₆=24，S₁₁=143．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}的前n项和为T_n，且2${\;}^{{a}_{n}-1}$=λT_n-2（λ是非零实数），{c_n}是等比数列吗？若是，求λ的值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由已知列方程组求得首项和公差，代入等差数列的通项公式求得答案；
（2）把（1）中求得的{a_n}的通项公式代入2${\;}^{{a}_{n}-1}$=λT_n-2，得到T_n，分类求出{c_n}的通项公式，由首项不适合n≥2时的通项公式，可得{c_n}不是等比数列．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
由a₅+a₆=24，S₁₁=143，
得$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=24}\\{11（{a}_{1}+5d）=143}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（2）由2${\;}^{{a}_{n}-1}$=λT_n-2，且a_n=2n+1，
得2²ⁿ=λT_n-2，
∴${T}_{n}=\frac{{2}^{2n}+2}{λ}$，
则${c}_{1}={T}_{1}=\frac{6}{λ}$；
当n≥2时，${c}_{n}={T}_{n}-{T}_{n-1}=\frac{{2}^{2n}+2-{2}^{2n-2}-2}{λ}$=$\frac{3•{2}^{2n-2}}{λ}$．
验证${c}_{1}=\frac{3}{λ}$不适合上式，
∴数列{c_n}不是等比数列．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，训练了由数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．