Question

2．已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0，a，b，c∈R），且方程f（x）=x无实数根．给出下列命题：
①若a=1，则不等式f（f（x））＞x对一切实数x都成立；
②若a=-1，则存在实数x₀，使得f（f（x₀））＞x₀成立；
③若a+b+c=0，则f（f（x））＜x对一切实数x都成立；
④方程f（f（x））=x一定无实数根．
其中正确命题的序号为①③④．

Answer 1

分析 根据函数图象的位置讨论a＞0和a＜0时，f（x）与x的大小关系，从而得出f（f（x））与f（x）的大小关系，进而得出f（f（x））与x的大小关系．

解答 解：∵方程f（x）=x无实根
∴当a＞0，∴f（x）＞x对一切x∈R成立，
∴f[f（x）]＞f（x）＞x，故命题①正确；
同理当a＜0，f（x）＜x对一切x∈R成立．
∴f[f（x）]＜f（x）＜x，故命题②错误；命题④正确；
∵a+b+c=0，∴f（1）=0，
又f（x）与y=x无交点，∴a＜0．
∴f[f（x）]＜x恒成立，故命题③正确．
故答案为：①③④．

点评 本题主要考查了二次函数的图象与性质，不等式的应用，综合性较强．