Question

7．已知数列{a_n}是递增的等差数列，a₂，a₄是方程x²-6x+8=0的根．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式； 
（Ⅱ）求数列{a_n+2ⁿ}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过解方程可知a₂=2、a₄=4，进而可得公差，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I），利用分组求和法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵a₂，a₄是方程x²-6x+8=0的根，
∴a₂=2、a₄=4或a₂=4、a₄=2（舍），
∴公差d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{2}}{4-2}$=1，
∴a_n=a₂+（n-2）d=n；
（Ⅱ）由（I）可知a_n+2ⁿ=n+2ⁿ，
∴S_n=（1+2+…+n）+（2¹+2²+…+2ⁿ）
=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查分组求和法，注意解题方法的积累，属于中档题．