Question

10．已知二次函数f（x）=mx²-（1-m）x+m，其中m是实数．
（1）若函数f（x）没有零点，求m的取值范围；
（2）设不等式f（x）＜mx+m的解集为A且m＞0，当m为何值时，集合A⊆（-∞，3）？

Answer 1

分析 （1）通过讨论m＞0或m＜0结合△＜0，得到关于m的不等式组，解出即可；（2）求出不等式f（x）＜mx+m的解集，求出m的值即可．

解答 解：（1）二次函数f（x）=mx²-（1-m）x+m，
若函数f（x）没有零点，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△{=（1-m）}^{2}-{4m}^{2}＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{△{=（1-m）}^{2}-{4m}^{2}＜0}\end{array}\right.$，
解得：m＞$\frac{1}{3}$或m＜-1；
（2）不等式f（x）＜mx+m，
即mx²-x＜0，即x（mx-1）＜0，
∵m＞0，∴x=$\frac{1}{m}$＞0，
∴不等式的解集是A=（0，$\frac{1}{m}$）⊆（-∞，3），
故$\frac{1}{m}$≤3，解得：m≥$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查不等式问题，是一道中档题．