Question

18．已知f（x）=$\frac{1}{4}$sin（πx-$\frac{π}{4}$）cos（πx-$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos²（πx-$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{3}}{8}$．
（Ⅰ）求y=f（x）的单调减区间及对称轴方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-m在区间[0，$\frac{1}{2}$]上恰好有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 利用降幂公式化简．
（Ⅰ）由相位在正弦函数的减区间内列式求得x的范围，则y=f（x）的单调减区间可求，再由相位的终边落在y轴上求得x值，可得函数的对称轴方程；
（Ⅱ）求出原函数的增区间，可得y=f（x）在[0，$\frac{1}{3}$]上单调递增，在[$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$]上单调递减，再求出f（0）、f（$\frac{1}{3}$）、f（$\frac{1}{2}$）的值，则可求得满足函数y=f（x）-m在区间[0，$\frac{1}{2}$]上恰好有两个零点的实数m的取值范围．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{4}$sin（πx-$\frac{π}{4}$）cos（πx-$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos²（πx-$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{3}}{8}$
=$\frac{1}{8}sin（2πx-\frac{π}{2}）+\frac{\sqrt{3}}{4}•\frac{1+cos（2πx-\frac{π}{2}）}{2}-\frac{\sqrt{3}}{8}$=$-\frac{1}{8}cos2πx+\frac{\sqrt{3}}{8}sin2πx$=$\frac{1}{4}sin（2πx-\frac{π}{6}）$．
（Ⅰ）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2πx-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$k+\frac{1}{3}≤x≤k+\frac{5}{6}$，k∈Z．
∴y=f（x）的单调减区间为[$k+\frac{1}{3}，k+\frac{5}{6}$]，k∈Z；
由$2πx-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}$，得$x=\frac{1}{3}+\frac{k}{2}$，k∈Z．
∴y=f（x）的对称轴方程为$x=\frac{1}{3}+\frac{k}{2}$，k∈Z；
（Ⅱ）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2πx-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，解得$k-\frac{1}{6}≤x≤k+\frac{1}{3}$，k∈Z，
∴y=f（x）在[0，$\frac{1}{3}$]上单调递增，在[$\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$]上单调递减，
而f（0）=$\frac{1}{4}sin（-\frac{π}{6}）=-\frac{1}{8}$，f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{4}sin\frac{π}{2}=\frac{1}{4}$，f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}sin\frac{5π}{6}=\frac{1}{8}$，
∴若函数y=f（x）-m在区间[0，$\frac{1}{2}$]上恰好有两个零点，即y=f（x）的图象与直线y=m有两个交点，
则实数m的取值范围是[$\frac{1}{8}，\frac{1}{4}$）．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查计算能力，是中档题．