Question

3．函数f（x）=sin4x+acos4x图象的一条对称轴方程是直线x=$\frac{π}{6}$，则a=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． -$\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用辅助角公式化积为f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+1}sin（4x+θ）$，（tanθ=a），把x=$\frac{π}{6}$代入，可得4×$\frac{π}{6}$+θ=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，求出θ值，则a可求．

解答 解：f（x）=sin4x+acos4x=$\sqrt{{a}^{2}+1}$（$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}sin4x+\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+1}}cos4x$）
=$\sqrt{{a}^{2}+1}sin（4x+θ）$，（tanθ=a），
∵函数f（x）=sin4x+acos4x图象的一条对称轴方程是直线x=$\frac{π}{6}$，
∴4×$\frac{π}{6}$+θ=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，则θ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z．
∴a=tan（kπ-$\frac{π}{6}$）=-tan$\frac{π}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档题．