Question

13．已知函数f（x）=|x+1|+2|x-a²|（a∈R）．
（1）若函数f（x）的最小值为3，求a的值：
（2）在（1）的条件下，若直线y=m与函数y=f（x）的图象围成一个三角形，求m的范围，并求围成的三角形面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）分类讨论以去掉绝对值号，从而确定函数的单调性，从而可得f（a²）=a²+1=3，从而求得；
（2）化简f（x）=|x+1|+2|x-2|，从而作出函数的图象，结合图象求解．

解答 解：（1）当x≥a²时，
f（x）=x+1+2x-2a²=3x-2a²+1，
当-1＜x＜a²时，
f（x）=x+1+2a²-2x=-x+2a²+1，
当x≤-1时，
f（x）=-x-1+2a²-2x=-3x+2a²-1，
故f（x）在（∞，a²）上是减函数，在（a²，+∞）上是增函数；
故f（a²）=a²+1=3，
故a²=2，
故a=$\sqrt{2}$或a=-$\sqrt{2}$；
（2）由（1）知，f（x）=|x+1|+2|x-2|，
由题意作图如下，
，
结合图象可知，A（3，6），B（-1，6），C（2，3）；
故3＜m≤6，
且m=6时面积最大为$\frac{1}{2}$×（3+1）×3=6．

点评 本题考查了绝对值函数的应用及数形结合的思想方法应用，属于中档题．