Question

2．已知（x²-2x-3）ⁿ=a₀+a₁x+…+a_2nx²ⁿ（x∈R，n∈N^*），且$\sum_{i=0}^{2n}$a_i=-1024．
（1）求n的值
（2）求a₁和a₂值．

Answer 1

分析 （1）令x=1即可得出．
（2）（x²-2x-3）⁵化为（x-3）⁵（x+1）⁵，利用二项式定理展开可得：$[（-3）^{5}+{∁}_{5}^{1}（-3）^{4}x+{∁}_{5}^{2}（-3）^{3}{x}^{2}+…]$ $[1+{∁}_{5}^{1}x+{∁}_{5}^{2}{x}^{2}+…]$，即可得出．

解答 解：（1）令x=1，可得：（1-2-3）ⁿ=a₀+a₁+…+a_2n，
∵$\sum_{i=0}^{2n}$a_i=-1024，∴（-4）ⁿ=-1024，解得n=5．
（2）（x²-2x-3）⁵=（x-3）⁵（x+1）⁵=$[（-3）^{5}+{∁}_{5}^{1}（-3）^{4}x+{∁}_{5}^{2}（-3）^{3}{x}^{2}+…]$ $[1+{∁}_{5}^{1}x+{∁}_{5}^{2}{x}^{2}+…]$，
∴a₁=$（-3）^{5}{∁}_{5}^{1}$+${∁}_{5}^{1}（-3）^{4}$=-810．
a₂=$（-3）^{5}•{∁}_{5}^{2}$+${∁}_{5}^{1}（-3）^{4}•{∁}_{5}^{1}$+${∁}_{5}^{2}（-3）^{3}$=（-3）³×（90-75+10）=-675．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．