Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1+n²=0．则a₃₁=-463．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得${a}_{n}+{a}_{n-1}=-（n-1）^{2}$（n≥2），两式作差可得a_n+1-a_n-1=-2n+1（n≥2）．然后分别取n=2，4，…，30，得到15个等式，累加即可求得a₃₁．

解答 解：在数列{a_n}中，由a_n+a_n+1+n²=0，
得${a}_{n+1}+{a}_{n}=-{n}^{2}$，
∴${a}_{n}+{a}_{n-1}=-（n-1）^{2}$（n≥2），
两式作差得：a_n+1-a_n-1=-2n+1（n≥2）．
∴a₃-a₁=-3，a₅-a₃=-7，a₇-a₅=-11，…，a₃₁-a₂₉=-59．
累加得：${a}_{31}-{a}_{1}=15×（-3）+\frac{15×14×（-4）}{2}=-465$，
∴a₃₁=-463．
故答案为：-463．

点评 本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，训练了等差数列前n项和得求法，是中档题．