Question

17．已知数列{a_n}满足，a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1（n∈N^*）．
（I）求证：数列{a_n-2}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=（2n-1）•（2-a_n）（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得a_n+1-2=$\frac{1}{2}$（a_n-2），a₁-2=-1，由此能证明数列{a_n-2}是首项为-1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，从而能求出a_n．
（Ⅱ）由b_n=（2n-1）$•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，（n∈N^*），利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答 证明：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足，a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+1（n∈N^*），
∴a_n+1-2=$\frac{1}{2}$（a_n-2），a₁-2=-1，
∴数列{a_n-2}是首项为-1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴a_n-2=-（$\frac{1}{2}$）^n-1，
∴a_n=2-（$\frac{1}{2}$）^n-1．
解：（Ⅱ）∵b_n=（2n-1）•（2-a_n）=（2n-1）$•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，（n∈N^*），
∴数列{b_n}的前n项和：
T_n=1+3$•\frac{1}{2}$+5•（$\frac{1}{2}$）²+7•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-1）$•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，①
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+3•（\frac{1}{2}）^{2}+5•（\frac{1}{2}）^{3}+7•（\frac{1}{2}）^{4}$+…+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+（$\frac{1}{2}$）⁰+$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）^n-2-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=1+$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-1}}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=3-（2n+3）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=6-（4n+6）×（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式及前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．