Question

3．已知等比数列{a_n}和等差数列{b_n}均是首项为1的递增数列，且a₂=b₂，a₃=b₄．
（I）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=a_n+（-1）ⁿb_n，求数列{c_n）前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（II）c_n=a_n+（-1）ⁿb_n=2^n-1+（-1）ⁿ•n．对n分类讨论，分求和，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，等差数列{b_n}的公差为d＞0，∵a₂=b₂，a₃=b₄．
∴q=1+d，q²=1+3d，解得q=2，d=1．
∴a_n=2^n-1，b_n=1+（n-1）=n．
（II）c_n=a_n+（-1）ⁿb_n=2^n-1+（-1）ⁿ•n．
∴n=2k（k∈N^*）时，数列{c_n）前n项和S_n=S_2k=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+（2-1）+（4-3）+…+[n-（n-1）]=2ⁿ-1+k=2ⁿ-1+$\frac{n}{2}$．
n=2k-1时，S_n=S_2k-1=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-1+（2-3）+（4-5）+…+[（n-1）-n）]=2ⁿ-1-1-（k-1）=2ⁿ-1-$\frac{n+1}{2}$=2ⁿ-$\frac{n+3}{2}$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}-1+\frac{n}{2}，n=2k}\\{{2}^{n}-\frac{n+3}{2}，n=2k-1}\end{array}\right.$（k∈N^*）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．