Question

13．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是C₁D₁，CC₁的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（　　）

• A． -$\frac{{5\sqrt{6}}}{18}$
• B． -$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{5}$
• D． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为2，E，F分别是C₁D₁，CC₁的中点，
A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），
$\overrightarrow{AE}$=（-2，1，2），$\overrightarrow{BF}$=（-2，0，1），
设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF|}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{BF}|}$=$\frac{6}{3\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．