Question

5．在菱形ABCD中，A=60°，AB=2$\sqrt{3}$，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P-BD-C的大小为120°，则三棱锥P-BCD的外接球体积为（　　）

• A． $\frac{28\sqrt{7}}{3}$π
• B． 28$\sqrt{7}$π
• C． $\frac{32}{3}$π
• D． 4$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 设菱形中心为E，则△BCD为等边三角形，利用球的对称性可知∠OEC=60°，利用等边三角形的性质和勾股定理求出球的半径．

解答 解：过球心O作OO′⊥平面BCD，则O′为等边三角形BCD的中心，
∵四边形ABCD是菱形，A=60°，∴△BCD是等边三角形，设AC，BD交于点E，则∠PEA=60°，
∴∠OEC=60°；
∵AB=2$\sqrt{3}$，∴CE=3，∴EO′=1，CO′=2，∴OO′=$\sqrt{3}$，
∴球的半径OC=$\sqrt{OO{′}^{2}+O′{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴外接球的体积V=$\frac{4}{3}π×（\sqrt{7}）^{3}$=$\frac{28\sqrt{7}}{3}π$．
故选：A．

点评 本题考查了棱锥与外接球的关系，找出∠OEC=60°是解题关键．