Question

15．数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n+n+1，n∈N^*，且前n项和为S_n，则$\frac{{S}_{n}}{n}$-$\frac{1}{2}$a_n取最大值时n的值为1或2．

Answer 1

分析 构造数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}，从而可证明其为以1为首项，1为公差的等差数列，从而求得a_n=n²，S_n=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，从而化简$\frac{{S}_{n}}{n}$-$\frac{1}{2}$a_n=$\frac{-{n}^{2}+3n+1}{6}$；从而利用二次函数求最值点．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{n+1}{n}$a_n+n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，
故$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+n-1=n，
故a_n=n²，S_n=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$，
故$\frac{{S}_{n}}{n}$-$\frac{1}{2}$a_n=$\frac{（n+1）（2n+1）}{6}$-$\frac{1}{2}$n²
=$\frac{-{n}^{2}+3n+1}{6}$；
∵y=-x²+3x+1的图象开口向下，且对称轴为x=$\frac{3}{2}$；
∴当n=1或n=2时，$\frac{{S}_{n}}{n}$-$\frac{1}{2}$a_n取最大值，
故答案为：1或2．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了转化思想与函数思想的应用及构造法的应用．